Перейти к основному содержанию

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЧАСТЬ ВТОРАЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ

Категория: 

Название: 

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЧАСТЬ ВТОРАЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ

Автор: 

АДAMАР Ж.

Издательство: 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Страниц: 

760

Год издания: 

1951

Язык: 

рус

Формат: 

djvu

Размер: 

10.00 МБ

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Настоящее издание подверглось значительной переработке. Я уже давно собирался, следуя указанию покойного Л е г у р г a (Lesgour-gues), объединить в одно целое теорию многогранных углов и теорию сферических многоугольников; в этом отношении я имел очень полезный для меня пример в работе одного из моих уважаемых коллег, работающего в университете Буэнос-Айреса. Соответствующее видоизменение было уже ранее осуществлено в планиметрии, где оно значительно проще. В этом издании то же самое видоизменение оказалось возможным осушествить и для пространства; наряду с другими преимуществами оно обладает весьма ценной с педагогической точки зрения особенностью: при этом получаются более простые и более ясные чертежи. Наряду с рядом исправлений мне пришлось пересмотреть доказательство теоремы Коши (прибавление L)о выпуклых многогранниках; по поводу прежнего доказательства этого предложения мне было сделано существенное замечание Ж е р а р о м (L. Gerard); пользуясь его любезными указаниями, мне удалось устранить сделанное им возражение в новом изложении этого доказательства. В настоящее время среди преподавателей наблюдается вполне обоснованный отказ от пользования выражением „симметрия относительно прямой*, не отражающим того существенного различия, которое имеется между этим видом симметрии и симметрией относительно точки или относительно плоскости. Из различных терминов, предлагаемых взамен этого выражения, я предпочёл термин „транспозиция" (transposition), и притом из соображений чисто грамматического порядка: этот термин допускает удобные обороты речи („1е transpose d'uii point", „1а transposee d'une figure"), в то время как другие предложенные названия, насколько они мне известны, этой гибкостью не обладают2). Как и в предыдущих изданиях, я обращал внимание на подбор упражнений. Основные улучшения касаются здесь сферической (упр. 485 и 486) ®) и проективной геометрии. Ж. Адамар.

Предисловие ко 2-му русскому изданию............... 9

Из предисловия автора к 7-му изданию ................10

КНИГА V. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия. Глава I. Пересечение прямых и плоскостей. 325. Плоскость. Взаимное расположение прямой и плоскости .... 11 326—329. Элементы, определяющие плоскость.............14 330. Пересечение двух плоскостей ..............— 331—332. Взаимное расположение двух прямых.............15 333—334. Пересечение трёх плоскостей.................— Упражнения 423—428 ........................................17 Глава II. Параллельные прямые и плоскости. 335—336. Параллельные прямые....................18 337. Параллельные прямая и плоскость..............19 338—341. Параллельные плоскости...................20 342—343. Углы с соответственно параллельными сторонами равны или пополнительны. Угол между двумя произвольными прямыми в пространстве......................22 344—345. Три параллельные плоскости отсекают на произвольных секущих пропорциональные отрезки................23 346. Обзор свойств параллельных прямых и плоскостей......24 Упражнения 429—440 ......................................25 Глава III. Прямая и плоскость, перпендикулярные между собой. 347- -350. Определение. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости ...............26 351—353. Плоскость, перпендикулярная к данной прямой и проходящая через данную точку. Прямая, перпендикулярная к данной плоскости и проходящая через данную точку . ..... 28 354—355. Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Расстояние точки от плоскости. Приложение к параллельным плоскостям .... 29 356. Геометрическое место прямых, составляющих равные углы с двумя данными прямыми ....................30 Упражнения 441—455 .................... 31 Глава IV. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости. 357—358. Определение. Линейный угол двугранного угла........32 359. Направление двугранного угла...............— 360—362. Сравнение двугранных углов.................33 363. Перпендикулярные плоскости......'........35 364—365. Если две плоскости перпендикулярны, то всякий перпендикуляр к линии их пересечения, лежащий в одной из плоскостей, является перпендикуляром к другой плоскости......36 366. Плоскость, перпендикулярная к данной плоскости и проходящая через данную прямую..................37 367—370. Двугранные углы пополнительные, вертикальные и с соответственно параллельными гранями ..............38 371. Обзор свойств перпендикулярных прямых и плоскостей .... 39 Упражнения 456—464 .................... 40 Глава V. Проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Площадь проекций плоской фигуры. 372—373. Проекции. Проекции параллельных прямых..........40 374—375. Теоремы о проекции прямого угла и о трёх перпендикулярах . 41 376—378. Угол между прямой и плоскостью. Линия наибольшего уклона . 42 379. Отношение расстояний точки, лежащей в одной из граней двугранного угла, от другой грани и от ребра........44 380. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми........— 381. Площадь проекции плоской фигуры .............45 Упражнения 465—480 ........................................47 Глава VI. Первоначальные сведения из сферической геометрии. 382—383. Пересечение шара с прямой и с плоскостью. Большие круги . 48 384. Полюсы круга, лежащего на шаре..............51 385—386. Угол между двумя большими кругами.............52 387. Отыскание радиуса твёрдого тела, имеющего форму шара ... 53 Глава VII. Многогранные углы. Сферические многоугольники. 388—389. Определения. Симметричные трёхгранные углы........55 390. Во всяком многогранном угле любой плоский угол меньше суммы всех остальных......................58 391—392. Сферические многоугольники. Связь с многогранными углами 393—394. Объемлющие и объемлемые многогранные углы и сферические многоугольники. Условия возможности построения трёхгранного угла по трём плоским углам........... 395—396. Пополнительиые трёхгранные углы. Полярные сферические треугольники ...................... 397—399. Признаки равенства ................... 400—402. Равнобедренный трёхгранный угол и сферический треугольник. Сходство и различие между свойствами трёхгранных углов или сферических треугольников и свойствами треугольников на плоскости.......................71 403—404. Перпендикулярные и наклонные дуги больших кругов .... 73 405. Сферические коордииаты...................75 Упражнения 481—508 .................... 76 Задачи (509—530) к пятой книге...............81

КНИГА VI. МНОГОГРАННИКИ. Глава I. Общие понятия. 406. Определения ........................84 407. Призма ...........................85 408. Боковаи поверхность призмы.................87 409. Параллелепипед .......................— 410_412. Прямой и прямоугольный параллелепипеды..........87 413—416. Пирамида. Сечения пирамиды параллельными плоскостями. Боковая поверхность правильной пирамиды .......... 88 417. Всякий многогранник можно разложить на пирамиды.....90 Упражнения 531—550 ............. . . 91 Глава II. Объём призмы. 418—419. Определение понятия объёма многогранника........92 420—422. Объём прямоугольного параллелепипеда ...........93 423. Всякая наклонная призма равновелика прямой призме, основанием которой служит перпендикулярное сечение, а высотой — боковое ребро дайной призмы ............................96 424—425. Объём прямого параллелепипеда и прямой призмы ......— 426—427. Объём произвольного параллелепипеда и произвольной призмы . 98 Упражнения 551—554 ........................................99 Глава III. Объём пирамиды. 428. Две треугольные пирамиды, имеющие равновеликие основания и одну и ту же высоту, равновелики............100 429. Объём пирамиды.........."............102 430. Объём усечённой пирамиды................— 431. Объём усечённой призмы ..................105 Упражнения 555—567..................... 106 Задачи (568—588) к шестой книге ..............107

КНИГА VII. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ. Глава I. Перемещения. 432—434. Условие равенства двух фигур. Вращение. Транспозиция относительно прямой........................110 435. Поступательные перемещения................112 436. Винтовые перемещения...................113 437—440. Разложение произвольного перемещения на две транспозиции относительно двух различных прямых. Сложение перемещений. Две равные фигуры всегда можно совместить, если они имеют одну соответственно общую точку, с помощью вращения: в общем случае — с помощью винтового перемещения ... — Упражнения 589—612 ................... 117 Глава II. Симметрия. 441—443. Определения. Две фигуры, симметричные с третьей относительно каких-либо точек или плоскостей, равны..........119 444—445. Всякая плоская фигура равна фигуре ей симметричной. Следствия.............. ..........120 446. Две симметричные фигуры имеют противоположное расположение. 121 447. Два симметричных многогранника равновелики........— 448. Ось транспозиции, центр и плоскость симметрии данной фигуры. — Упражнения 613—621....................122 Глава III. Гомотетия и подобие. 449—450. Определение. Основная теорема...............' 12й 451—452. Обратная теорема. Ось подобия трёх фигур; плоскость подобия четырёх фигур .........."...........124 3—454. Подобные фигуры. Подобные многогранники.........126 455. Отношение объёмов подобных многогранников.......127 Упражнения 622—629 .................128 Задачи (630—641) к седьмой книге ... ". . .......—

КНИГА VIII. КРУГЛЫЕ ТЕЛА. Глава I. Общие определения. Цилиндр. 456. Цилиндрические поверхности.................131 457. Прямые, касательные к поверхности. Случай цилиндрической по- верхности .............................— 45S—459. Сечеиия цилиндрической поверхности. Цилиндры......132 460—461. Конические поверхности. Конусы .............133 462. Поверхности вращения ...............134 463—464. Цилиндр с крлговым основанием. Боковая поверхность . . 135 465. Объём цилиндра.......................137 Упражнения 642—652 ....................— Глава II. Конус. Усечённый конус. 466—467. Конус вращения. Боковая поверхность конуса вращения . . 138 468. Объём криуса........................141 469. Боковая поверхность усечённого конуса вращения......— 470. Объём усечённого конуса..................14о Упражнения 653—670 ........................................14з Глава III. Шар и его свойства. • 471—473. Шар как поверхность вращения...............144 474—475. Элементы, определяющие шар................146 476—478. Конус и цилиндр, описанные около тара. Касательные плоскости к шару, проходящие через данную прямую......148 479—481. Пересечение шарпв.....................151 482—483. Степень точки относительно шара. Шары, ортогональные между собой..........................152 484—485. Радикальная плоскость, радикальная ось и радикальный центр . 153 486—491. Шары, гомотетичные между собой. Общие касательные плоскости ..........................155 Упражнения 671—715....................15S Глава IV. Поверхность и объём шара. 492. Поверхность, образованная вращением отрезка около оси, лежащей с ним в одной плоскости и его не пересекающей . .161 493—466. Поверхность шарового пояса. Поверхность шара.......162 497. Объём тела, образованного вращением треугольника около оси, лежащей в его плоскости, проходящей через его вершину и его не пересекающей.................164 498—499. Объём шарового сектора. Объём шара............167 600—501. Объём шарового кольца. Объём шарового слоя и шарового сегмента ..........................169 Упражн°ния 716—732 ....... ........... 171 Задачи (733—747) к восьмой книге..............173 дополнения ко второй части. Глава I. Полюсы и полярные плоскости относительно шара. Инверсия в пространстве. Дополнения к сферической геометрии. 502—504. Полюсы и полярные плоскости относительно шара......176 505. Взаимные поляры......................178 506. Взаимно-полярные фигуры.................— 507—510. Инверсия; её основные "свойства...............180 511—513. Фигура, обратная плоскости или шару. Приложение к тетраэдру. 182 514—517. Фигура, обратная окружности. Антипараллельные сечения наклон чого конуса.....................184 518—519. Стереографическая проекция.................186 520. Шары, пересекающие два данных шара под равными углами . 187 521. Конусы, проходящие через две окружности, лежащие на одном шаре......................... 18S 522—524. Задача о касании шаров...................189 525—526. Приложение инверсии к сферической геометрии .......191 527. Неизменяемость сложного отношения при инверсии......192 528—530. Инверсия на шаре. Применение к задаче о касании окружностей 193 Упражнения 748—823 ........."..........195 Глава II. Площади сферических многоугольников. 531—532. Выбор единиц измерения. Площадь двуугольника.......204 533. Равновеликость двух симметричных сферических треугольников. 205 534. Площадь сферического треугольника или многоугольника . . . 206 535—536. Теорема Лекселля.....................207 Упражнения 824—835 ................... 209 Глава III. Теорема Эйлера. Правильные многогранники. 537—538. Предварительные замечания и ограничения..........210 539—540. Области, имеющие одинаковую связность...........211 541. Односвязные области....................— 542—543. Всякий выпуклый многогранник есть многогранник нулевого рода. Примеры многогранников ие нулевого рода........212 544. Теорема Эйлера.......................214 545. Порядок связности многогранной поверхности ........215 546. Правильные многогранные углы...............— 547—550. Правильные многогранники; общие свойства.........218 551. Вращения и симметрии правильных многогранников......222 552—556. Куб. Правильный тетраэдр..................223 557—558. Сопряжённые правильные многогранники...........229 559. Пример: октаэдр.......................230 560—562. Существование только пяти типов правильных многогранников — 563. Построение правильных многогранников пяти типов .....233 564. Вычисление элементов правильных многогранников......234 Упражнения 836—363 .................... 236

ПРИБАВЛЕНИЯ. Прибавление F. О понятии объёма. 565—570. Объем тетраэдра. Объем пирамиды.............241 571. Объём многогранника....................244 Прибавление G. О понятиях длины, площади и объёма для любых линий и поверхностей. 572—574. Длина дуги пространственной кривой............245 575—576. Развертывающиеся поверхности...............250 577—585. Объёмы тел, ограниченных кривыми поверхностями.....252 586—591. Площадь кривой поверхности ................259 Прибавление Н. О правильных многогранниках и группах вращений. 592—593. Группы перемещений...................263 594. Преобразование перемещений................ 265. 595—609. Конечные группы. Соответствующие правильные многогранники 266 610—611. Фундаментальные области..................282 Прибавление К. Теорема Коши о выпуклых многогранниках. 612—613. Формулировка теоремы. Предварительные замечания.....285 614—615. Леммы I, II, III.......................288 616—618. Доказательство теоремы Коши..............293

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ. Составлены Д. И. Перепёлкиным

КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. Упражнения...........................297 Задачи..............................370

КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ. Упражнения .... ....................391 Задачи..............................416

КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ. Упражнения........................ ... 434 Задачи .............................. 476

КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА. Упражнения...........................501 Задачи..............................583

ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ. Упражнения...........................597 Указатель содержания ................759

Техническая библиотека

Вверх