Теория катастроф

Автор: Арнольд В. И.
Издательство: Наука
Год издания: 1990
Язык: русский
Страниц: 128

 

 

Краткое содержание

Предисловие

Глава 1. Особенности, бифуркации и катастрофы Математические статьи основоположника теории катастроф Р. Тома были переизданы массовым тиражом в карманной серии — событие, которого не было в математическом мире со времени возникновения кибернетики, у которой теория катастроф заимствовала многие приемы саморекламы. Источниками теории катастроф являются теория особенностей гладких отображений Уитни теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре и Андропова. Теория особенностей — это грандиозной обобщение исследования функции на максимум и минимум. В теории Уитни функции заменены отображениями, т. е. наборами нескольких функций нескольких переменных. Слово «бифуркация» означает раздвоение и употребляется в широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят. Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Чтобы понять, что такое теория катастроф, нужно вначале познакомиться с элементами теории особенностей Уитни.

Глава 2. Теория особенностей Уитни Отображение поверхности на плоскость — это сопоставление каждой точке поверхности точки плоскости. Отображения гладких поверхностей на плоскость окружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностями. Видимые контуры тел – это проекции ограничивающих тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров. Примером особенности первого вида – она названа складкой Уитни – является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора.

Глава 3. Применения теории Уитни Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсюду должны встречаться и их особенности. А поскольку теория Уитни дает значительную информацию об особенностях отображений общего положения, можно попытаться использовать эту информацию для изучения большого количества разнообразных явлений и процессов но всех областях естествознания. В этой простой идее и состоит лея сущность теории катастроф. В случае, когда отображение, о котором идет речь, достаточно хороню известно, имеется в виду более, или менее прямое применение математической теории особенностей к различным явлениям природы. Такое применение действительно приводит к полезным результатам, например в теории упругости и в геометрической оптике (теория особенности каустик и волновых фронтов, о которых мы еще будем говорить дальше),

Глава 4. Машина катастроф Во многих упругих конструкциях при одинаковых внешних нагрузках возможно несколько положений равновесия. Рассмотрим, например, горизонтальную линейку, концы которой шарнирно закреплены, нагруженную весом стоящего на середине линейки груза. Наряду с положением равновесия, при котором линейка прогнута грузом, возможно также положение, при котором линейка выгнута дугой вверх, наподобие моста. При увеличении груза в некоторый момент происходит «катастрофа» или «хлопок»: линейка скачком переходит из одного состояния в другое. Теория особенностей применима к изучению таких хлопков, и ее предсказания прекрасно оправдываются в экспериментах.

Глава 5. Бифуркации положений равновесия Эволюционный процесс математически описывается векторным полем в фазовом пространстве. Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния. В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением времени). Системы, описывающие реальные эволюционные процессы, как правило, общего положения. Действительно, такая система всегда зависит от параметров, которые никогда не бывают известны точно. Малое общее изменение параметров превращает систему необщего положения в систему общего положения. Если устойчивое положение равновесия описывает установившийся режим в какой-либо реальной системе скажем, экономической, экологической или химической), то при его слиянии с неустойчивым положением равновесия система должна совершить скачок, перескочив на совершенно другой режим: при изменении параметра равновесное состояние в рассматриваемой окрестности исчезает. Скачки этого рода и привели к термину «теория катастроф».

Глава 6. Потеря устойчивости равновесных и автоколебательных режимов

Глава 7. Особенности границы устойчивости и принцип хрупкости хорошего

Глава 8. Каустики, волновые фронты и их метаморфозы

Глава 9. Крупномасштабное распределение вещества во Вселенной

Глава 10. Особенности и задачах оптимизации: функции максимума

Глава 11. Особенности границы достижимости

Глава 12. Гладкие поверхности и их проектирования

Глава 13. Задача об обходе препятствия

Глава 14. Симплектическая и контактная геометрия

Глава 15. Комплексные особенности

Глава 16. Мистике теории катастроф

Добавление

Заключение

Задачи

Список литературы